혜화여고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1 기출 분석 (2025 최신)

혜화여고 1학년 1학기 중간 공통수학1은 2025학년 기준 총 22문항입니다. 분석표에 기록된 22문항의 정답이 모두 선택지 번호로, 객관식 중심 구성입니다. 다섯 단원에 7·4·4·4·3문항씩 고르게 배분됐고, 중상 이상이 12문항(55%) 입니다. 버릴 단원이 없고 쉬어 갈 구간도 좁은 시험입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 분석표 기준 정답이 모두 선택지 번호(객관식 중심)
• 난이도: 하 3 / 중 7 / 중상 9 / 상 3
• 배치 단원: 02 나머지 정리와 인수분해 7 / 04 이차방정식 4 / 03 복소수 4 / 05 이차방정식과 이차함수 4 / 01 다항식의 연산 3
• 최다 반복 유형: 이차방정식의 근과 계수의 관계 3회(12·16·19번)
• 상 난이도: 18번(복소수의 거듭제곱)·21번(곱셈 공식의 변형)·22번(조건을 만족시키는 이차함수) — 전부 마지막 구간

혜화여고 고1 1학기 중간은 어떤 시험인가

혜화여자고등학교는 서울 강북구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 1학기 중간고사 공통수학1은 총 22문항입니다.

이 시험의 첫 번째 특징은 단원 배분이 거의 균등하다는 점입니다. 나머지 정리와 인수분해 7문항을 빼면 이차방정식·복소수·이차함수가 각각 4문항, 다항식의 연산이 3문항입니다. 어느 한 단원을 포기하고 갈 수 없습니다.

두 번째 특징은 난이도가 뒤로 갈수록 계단식으로 올라간다는 점입니다. 1번(하)으로 시작해 2~4번이 중, 5~10번 여섯 문항이 연속 중상, 11~16번에서 잠시 하·중으로 내려왔다가, 17~22번 여섯 문항 중 세 문항이 상입니다.

11~16번이 이 시험의 숨 고르기 구간입니다. 11·12번이 하, 13~16번이 중입니다. 5~10번에서 시간을 많이 썼더라도 여기서 회복할 수 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 12문항(55%)

중상 이상이 12문항(55%) 입니다. 하 난이도는 3문항뿐입니다.

주목할 점은 중상 9문항 중 여섯 문항(5~10번)이 연속이라는 것입니다. 시험 시작 5번부터 10번까지 여섯 문항을 연달아 만나야 합니다. 여기서 페이스가 무너지면 뒤쪽 상 난이도 구간에 쓸 시간이 남지 않습니다.

그리고 상 3문항(18·21·22번)이 전부 마지막 다섯 문항 안에 있습니다. 시간 관리가 곧 점수인 배치입니다.

출제 단원 — 다섯 단원 균등, 나머지 정리가 7문항

나머지 정리와 인수분해가 7문항(32%) 으로 가장 많고, 나머지 네 단원이 3~4문항씩입니다. 균형 잡힌 출제입니다.

여기서 한 가지 짚어둘 것이 있습니다. 7번은 배치 단원이 "04 이차방정식"인데 실제로는 삼차식을 다룹니다. 세부 유형이 f(0)=f(a)=f(2a)=k를 만족시키는 삼차식 f(x) 구하기이고, 여기에 P(ax+b)를 x-α로 나눈 나머지와 일차식으로 나눈 나머지가 결합돼 있습니다. 이차방정식 단원에 분류돼 있지만 실제 도구는 나머지 정리라는 뜻입니다.

시그니처 유형 — "근과 계수의 관계" 3회

이 시험을 관통하는 개념은 이렇습니다.

이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값 구하기가 12·16·19번 세 문항에 쓰였습니다. 12번은 이차방정식, 16번은 근의 치환, 19번은 이차함수의 그래프와 직선의 교점에서 각각 도구로 쓰입니다. 단원이 달라도 같은 공식으로 열립니다.

2회씩 겹치는 유형은 다섯 개입니다.

• 다항식의 나눗셈; 몫과 나머지 — 3·9번
• 일차식으로 나누었을 때의 나머지 — 7·10번
• 곱셈 공식의 변형; x²+y², x³+y³의 값 — 12·21번
• 이차방정식의 근의 판별 — 13·15번
• 제한된 범위에서의 이차함수의 최대, 최소 — 14·22번

곱셈 공식의 변형이 12번(하)과 21번(상)에 걸쳐 있는 것이 눈에 띕니다. 같은 공식인데 난이도가 극과 극입니다. 21번은 여기에 도형 활용이 붙어 상으로 올라갔습니다.

제한된 범위에서의 최대·최소도 14번(중)과 22번(상)에 짝지어 있습니다. 쉬운 쪽을 확실히 익히면 어려운 쪽의 진입로가 생기는 구조입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 시작 구간 (1~4번) — 하 1, 중 3

1번 하 다항식의 덧셈과 뺄셈, 2번 중 이차식으로 나누어떨어지는 다항식·나누어떨어질 조건, 3번 중 다항식의 나눗셈; 몫과 나머지·A=BQ+R, 4번 중 x⁴+ax²+b 꼴의 인수분해·인수분해 공식.

2번의 "나누어떨어진다" 는 곧 나머지가 0 입니다. 나누는 이차식이 인수분해되면 각 근을 대입해 두 개의 조건식을 얻습니다.

4번의 x⁴+ax²+b 꼴은 x²을 한 덩어리로 치환하거나, 완전제곱식을 만든 뒤 합차 공식으로 쪼갭니다. 치환으로 안 되면 두 번째를 시도하세요.

2. 중상 6연속 구간 (5~10번) — 이 시험의 본체

5번 중상 공통부분이 있는 인수분해·이차식이 완전제곱식이 되는 조건, 6번 중상 삼차식으로 나누었을 때의 나머지·이차식으로 나누었을 때의 나머지, 7번 중상 f(0)=f(a)=f(2a)=k를 만족시키는 삼차식 f(x) 구하기·P(ax+b)를 x-α로 나눈 나머지·일차식으로 나눈 나머지, 8번 중상 인수분해를 이용한 복잡한 수의 계산·약수의 개수, 9번 중상 복소수가 주어질 때의 식의 값 구하기·다항식의 나눗셈, 10번 중상 인수 정리를 이용한 인수분해·일차식으로 나눈 나머지·조립제법.

여섯 문항 연속 중상입니다. 각각을 짧게 정리합니다.

5번 — 공통부분을 치환한 뒤 완전제곱식이 될 조건(판별식이 0) 을 씁니다.

6번 — 삼차식으로 나눈 나머지는 이차식 이하입니다. ax²+bx+c로 놓고 대입하거나 계수를 비교합니다.

7번 — f(0)=f(a)=f(2a)=k 라는 조건은 f(x)-k = 0이 0, a, 2a를 근으로 갖는다는 뜻입니다. 즉 f(x)-k = c·x(x-a)(x-2a) 로 쓸 수 있습니다. 이 한 번의 재해석이 문제를 통째로 엽니다.

8번 — 큰 수의 계산을 문자로 치환해 인수분해로 바꾸는 유형입니다. 여기에 약수의 개수까지 물었습니다. 소인수분해가 pᵃqᵇ 꼴이면 약수의 개수는 (a+1)(b+1)입니다.

9번 — 복소수 조건이 주어졌을 때 식의 값을 구하는데, 다항식의 나눗셈이 함께 쓰였습니다. 주어진 복소수가 만족하는 이차방정식을 먼저 찾아, 그 식으로 높은 차수의 다항식을 나누어 차수를 낮추는 것이 표준 접근입니다.

10번 — 인수 정리(P(α)=0이면 x-α가 인수) 와 조립제법의 결합입니다.

3. 숨 고르기 구간 (11~16번) — 하 2, 중 4

11번 하 복소수가 서로 같을 조건, 12번 하 근과 계수의 관계·곱셈 공식의 변형, 13번 중 이차방정식의 근의 판별, 14번 중 제한된 범위에서의 이차함수의 최대·최소, 15번 중 그래프와 직선의 위치 관계·근의 판별, 16번 중 f(x)=0의 근을 이용하여 f(ax+b)=0의 근 구하기·근과 계수의 관계.

여섯 문항 모두 하·중입니다. 여기가 확보 구간입니다.

14번의 제한된 범위에서의 최대·최소는 꼭짓점의 x좌표가 범위 안에 있는지로 경우를 나누는 것이 핵심입니다.

15번은 두 식을 연립해 만든 이차방정식의 판별식 부호로 만남·접함·만나지 않음을 판정합니다.

16번의 "f(ax+b)=0의 근" 은 ax+b가 f의 근이 되어야 한다는 치환 논리입니다. ax+b=α, ax+b=β 를 각각 풀면 됩니다.

4. 마무리 구간 (17~22번) — 상 3문항 포함

17번 중상 음수의 제곱근의 계산·성질·켤레복소수의 성질, 18번 상 복소수의 거듭제곱·i의 거듭제곱, 19번 중상 그래프와 직선의 교점·근과 계수의 관계, 20번 중상 항등식의 성질·이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계·계수 비교법, 21번 상 곱셈 공식의 변형; x²+y², x³+y³의 값·다항식의 연산의 도형에의 활용, 22번 상 조건을 만족시키는 이차함수 구하기·제한된 범위에서의 최대·최소·그래프와 x축의 교점.

17번의 음수의 제곱근은 √a·√b = -√(ab) 가 되는 조건(a<0이고 b<0), √a/√b = -√(a/b) 가 되는 조건(a>0이고 b<0)을 정확히 구분해야 합니다.

18번 상은 복소수의 거듭제곱입니다. i는 4주기이고, (1+i)²=2i, (1-i)²=-2i 같은 변형으로 지수를 줄여 나갑니다.

20번은 항등식과 이차함수가 결합된 특이한 문항입니다. 항등식의 성질로 계수를 확정한 뒤, 그 이차함수의 그래프가 x축과 어떤 위치에 있는지를 판별식으로 판정합니다.

21번 상은 곱셈 공식의 변형에 도형 활용이 붙었습니다. 직육면체 같은 도형의 조건(겉넓이·모서리 길이의 합·부피)을 대칭식으로 옮긴 뒤 (a+b+c)² 전개식에 대입하는 흐름입니다.

22번 상은 마지막 문항입니다. 조건을 만족하는 이차함수를 구하는데, 제한된 범위에서의 최대·최소와 그래프와 x축의 교점이 함께 걸려 있습니다. 세 개념을 동시에 다뤄야 하는 종합 문항입니다.

주의 문항 — 상 3문항과 중상 6연속

5~10번 중상 6연속 — 이 시험의 최대 고비입니다. 한 문항에 3분 이상 쓰지 않는다는 원칙을 세우고, 막히면 11번으로 넘어가세요. 11~16번이 전부 하·중입니다.

18번 상 (복소수의 거듭제곱) — 지수를 줄이는 변형에 익숙해야 합니다.

21번 상 (곱셈 공식의 변형 + 도형 활용) — 도형 조건을 대칭식으로 옮기는 단계가 관건입니다.

22번 상 (조건을 만족시키는 이차함수) — 마지막 문항이자 세 개념이 얽힌 종합 문항입니다.

7번 중상 (f(0)=f(a)=f(2a)=k) — 재해석 한 번이면 풀리고, 모르면 손도 못 대는 유형입니다. 반드시 익혀두세요.

혜화여고 고1 1학기 중간 대비 학습 순서

1. 다항식의 사칙연산과 나눗셈 — 1·3번. 확보 구간.
2. 복소수가 서로 같을 조건 — 11번. 확보 구간.
3. ★ 근과 계수의 관계 — 12·16·19번. 세 문항을 여는 단일 도구.
4. 곱셈 공식의 변형 x²+y², x³+y³ — 12·21번. 하와 상 양쪽에 걸침.
5. 나누어떨어질 조건(나머지=0) — 2번.
6. x⁴+ax²+b 꼴의 인수분해 — 4번. 치환 또는 완전제곱 후 합차.
7. 공통부분 치환 + 완전제곱식이 될 조건 — 5번 대비.
8. ★ 이차식·삼차식으로 나눈 나머지 — 6번. 나머지의 차수부터 확정.
9. ★ f(α)=f(β)=k 재해석 — 7번 대비. f(x)-k=0의 근으로 읽기.
10. 인수분해를 이용한 수의 계산과 약수의 개수 — 8번 대비.
11. 복소수 조건으로 차수 낮추기 — 9번 대비. 만족하는 이차방정식 찾기.
12. 인수 정리와 조립제법 — 10번 대비.
13. 판별식과 그래프의 위치 관계 — 13·15·20번.
14. ★ 제한된 범위에서의 최대·최소 — 14·22번. 꼭짓점 위치로 경우 나누기.
15. f(ax+b)=0의 근 구하기 — 16번 대비. 치환 논리.
16. 음수의 제곱근의 성질 — 17번. 부호 조건 암기.
17. i의 거듭제곱과 복소수의 거듭제곱 — 18번 대비.
18. 곱셈 공식의 도형 활용 — 21번 대비. (a+b+c)² 전개식.

자주 나오는 질문

혜화여고 1학년 1학기 중간 공통수학1은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 분석표에 기록된 정답이 모두 선택지 번호로, 객관식 중심 구성입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 나머지 정리와 인수분해가 7문항(32%) 으로 가장 많습니다. 이차방정식·복소수·이차방정식과 이차함수가 각각 4문항, 다항식의 연산이 3문항으로 나머지는 균등합니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 18번(복소수의 거듭제곱)·21번(곱셈 공식의 변형과 도형 활용)·22번(조건을 만족시키는 이차함수) 세 문항이고, 전부 뒤쪽 다섯 문항 안에 있습니다.

시험지에서 가장 조심해야 할 점은 뭔가요?

5~10번이 중상 여섯 문항 연속이라는 점입니다. 여기서 시간을 다 쓰면 뒤쪽 상 난이도 구간을 볼 시간이 없습니다. 11~16번이 전부 하·중이니, 막히면 먼저 넘어가는 것이 유리합니다.

어떤 개념부터 공부해야 하나요?

나머지 정리부터입니다. 배치 단원 기준 7문항이고, 7번(이차방정식으로 분류)과 9번(복소수로 분류)에서도 도구로 쓰였습니다. 그다음이 근과 계수의 관계입니다.

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