틀린문제 테라피
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대화고
· 2025년 3학년 1학기
기말
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| 선택 | 번호 | 난이도 | 유형 | 단원/주제 | 미리보기 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 하 |
삼각함수의 정적분
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cos^{3} x = cos x cdot cos^{2} x = cos x (1 - sin^{2} x) 이므로 int_{{pi} over {2}}^{pi} cos^{3} x dx = int_{{pi} over {2}}^{pi} (1 - sin^{2} x) cos x dx sin x = t 로 놓으면 cos x dx = dt 이고 x = {pi} over {2} 일 때 t = 1 , x = pi 일 때 t = 0 이다. 따라서 구하는 정적분의 값은 int_{1}^{0} (1 - t^{2}) dt = [ t - {1} over {3} t^{3} ]_{1}^{0} = 0 - (1 - {1} over {3}) = - {2} over {3} | ||
| 2 | 하 |
입체도형의 부피
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점 x ( 0 leq x leq 1 )를 지나고 x 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 S(x) 라 하면 단면이 정사각형이므로 한 변의 길이는 y = x root{x} + 1 = x^{{3} over {2}} + 1 이다. S(x) = (x^{{3} over {2}} + 1)^2 = x^3 + 2x^{{3} over {2}} + 1 입체도형의 부피를 V 라 하면 V = int_{0}^{1} S(x) dx = int_{0}^{1} (x^3 + 2x^{{3} over {2}} + 1) dx V = [ {1} over {4} x^4 + 2 cdot {2} over {5} x^{{5} over {2}} + x ]_{0}^{1} V = {1} over {4} + {4} over {5} + 1 = {5 + 16 + 20} over {20} = {41} over {20} 따라서 p = 20 , q = 41 이고 p , q 는 서로소인 자연수이므로 | ||
| 3 | 중 |
함수의 증가와 감소
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f(x) = x^{2} + cos x 라 하면 f'(x) = 2x - sin x 이다. 이때 g(x) = 2x - sin x 라 하면 g'(x) = 2 - cos x 이고, -1 leq cos x leq 1 이므로 모든 실수 x 에 대하여 g'(x) > 0 이다. 따라서 g(x) 는 증가하는 함수이고 g(0) = 0 이므로 x > 0 에서 g(x) > 0 , 즉 f'(x) > 0 이다. f(x) 는 x > 0 에서 증가하고 lim_{x -> 0+} f(x) = 0^{2} + cos 0 = 1 이므로 f(x) > 1 이다. 부등식 f(x) > a 가 x > 0 인 모든 실수 x 에 대하여 성립하려면 a leq 1 이어야 한다. 따라서 상수 a 의 최댓값은 1 이다. | ||
| 4 | 중 |
곡선 y=f(x) 의 길이
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곡선의 길이 L 은 L = int_{a}^{b} root { 1 + left ( {dy} over {dx} right )^{2} } dx 이다. y = {e^{x} + e^{-x}} over {2} 에서 {dy} over {dx} = {e^{x} - e^{-x}} over {2} 이므로 1 + left ( {dy} over {dx} right )^{2} = 1 + left ( {e^{x} - e^{-x}} over {2} right )^{2} = 1 + {e^{2x} - 2 + e^{-2x}} over {4} = {e^{2x} + 2 + e^{-2x}} over {4} = left ( {e^{x} + e^{-x}} over {2} right )^{2} 따라서 구하는 곡선의 길이는 L = int_{0}^{ln 3} root { left ( {e^{x} + e^{-x}} over {2} right )^{2} } dx = int_{0}^{ln 3} {e^{x} + e^{ | ||
| 5 | 중 |
두 도형의 넓이가 같을 조건
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두 곡선 y = {4x} over {3(x^{2}+1)^{2}} , y = ax^{2}+1 및 y 축, 직선 x = 1 로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 서로 같으므로 int_{0}^{1} left { {4x} over {3(x^{2}+1)^{2}} - (ax^{2}+1) right } dx = 0 int_{0}^{1} {4x} over {3(x^{2}+1)^{2}} dx 에서 x^{2}+1=t 로 놓으면 2x dx = dt 이고 x 가 0 에서 1 로 변할 때 t 는 1 에서 2 로 변하므로 int_{1}^{2} {2} over {3t^{2}} dt = left [ - {2} over {3t} right ]_{1}^{2} = - {1} over {3} - ( - {2} over {3} ) = {1} over {3} 또한 int_{0}^{1} (ax^{2}+1) dx = left [ {a} over {3}x^{3} + x right | ||
| 6 | 중 |
부분적분법
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곡선 y=f(x) 위의 점 (x, f(x)) 에서의 접선의 기울기가 e^{x} cos x 이므로 f'(x) = e^{x} cos x f(x) = int e^{x} cos x dx 에서 부분적분법을 두 번 이용하면 int e^{x} cos x dx = e^{x} cos x + int e^{x} sin x dx = e^{x} cos x + left { e^{x} sin x - int e^{x} cos x dx right } 2 int e^{x} cos x dx = e^{x} (sin x + cos x) + C' f(x) = {1} over {2} e^{x} (sin x + cos x) + C (단, C 는 적분상수) 곡선 y=f(x) 가 점 (0, 1) 을 지나므로 f(0) = 1 에서 f(0) = {1} over {2} e^{0} (sin 0 + cos 0) + C = {1} over {2} cdot 1 cdot (0 + 1) + | ||
| 7 | 중 |
치환적분법
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정적분으로 정의된 함수의 미분에 의하여 f'(x) = {1} over {x^{2} - 3x} 이다. 구하고자 하는 정적분을 I = int_{4}^{a} {e^{f(x)}} over {x^{2} - 3x} dx 라 하면, I = int_{4}^{a} e^{f(x)} f'(x) dx 이다. f(x) = u 로 치환하면 f'(x) dx = du 이고, x = 4 일 때 u = f(4) = 0 , x = a 일 때 u = f(a) = ln 3 이다. 따라서 I = int_{0}^{ln 3} e^{u} du = [ e^{u} ]_{0}^{ln 3} = e^{ln 3} - e^{0} = 3 - 1 = 2 이다. | ||
| 8 | 중상 |
평면 위에서 점이 움직인 거리
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시각 t 에서의 점 rm P 의 속도는 {dx} over {dt} = sin t , {dy} over {dt} = cos 2t 점 rm P 의 속력을 v 라 하면 v = root{ left ( {dx} over {dt} right ) ^{2} + left ( {dy} over {dt} right ) ^{2} } = root{ sin^{2} t + cos^{2} 2t } 이때 cos 2t = 1 - 2 sin^{2} t 이므로 v^{2} = sin^{2} t + left ( 1 - 2 sin^{2} t right ) ^{2} sin^{2} t = s 로 놓으면 0 leq t leq pi 에서 0 leq s leq 1 이고 v^{2} = s + (1 - 2s)^{2} = 4s^{2} - 3s + 1 v^{2} = 4 left ( s - {3} over {8} right ) ^{2} + {7} over {16} 0 leq s leq 1 이므로 | ||
| 9 | 중상 |
최대·최소의 활용
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함수 f(x) = x ln x 의 정의역은 x > 0 이다. f'(x) = 1 cdot ln x + x cdot {1} over {x} = ln x + 1 f'(x) = 0 에서 ln x = -1 이므로 x = {1} over {e} 이다. f''(x) = {1} over {x} ㄱ. x > 0 에서 f''(x) > 0 이므로 f(x) 는 x = {1} over {e} 에서 극소이자 최소이다. 최솟값은 f left( {1} over {e} right) = {1} over {e} ln {1} over {e} = - {1} over {e} 이므로 f(x) geq - {1} over {e} 이다. (참) ㄴ. x > 0 일 때 f''(x) = {1} over {x} > 0 이므로 곡선 y = f(x) 는 전 구간에서 아래로 볼록하다. (참) ㄷ. lim_{x -> 0+} f(x) = 0 , lim_{x - | ||
| 10 | 중상 |
매개변수로 나타낸 함수의 미분법
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매개변수로 나타내어진 함수의 미분법에 의하여 {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {1 + {1} over {t^{2}}} over {2t + 1} = {t^{2} + 1} over {t^{2}(2t + 1)} 접점의 좌표를 left ( a^{2} + a, a - {1} over {a} right ) ( a > 0 ) 이라 하면 원점 (0, 0) 과 접점을 이은 직선의 기울기가 접선의 기울기와 같으므로 {a - {1} over {a} - 0} over {a^{2} + a - 0} = {a^{2} + 1} over {a^{2}(2a + 1)} {a^{2} - 1} over {a^{2}(a + 1)} = {a^{2} + 1} over {a^{2}(2a + 1)} {(a - 1)(a + 1)} over {a^{2}(a + 1)} = {a^{2} + 1} over {a^{2}(2a + 1)} a > 0 | ||
| 11 | 중상 |
정적분 포함 등식
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조건 (나)의 식의 우변을 전개하면 int_{0}^{x} f(t) dt = x + 2x int_{0}^{x} f(t) dt - 2 int_{0}^{x} t f(t) dt 양변을 x 에 대하여 미분하면 f(x) = 1 + 2 left ( int_{0}^{x} f(t) dt + x f(x) right ) - 2x f(x) f(x) = 1 + 2 int_{0}^{x} f(t) dt 위 식의 양변을 다시 x 에 대하여 미분하면 f'(x) = 2 f(x) 조건 (가)에서 f(x) > 0 이므로 {f'(x)} over {f(x)} = 2 양변을 x 에 대하여 적분하면 ln f(x) = 2x + C ( C 는 적분상수) f(x) = e^{2x+C} 한편, f(x) = 1 + 2 int_{0}^{x} f(t) dt 에 x = 0 을 대입하면 f(0) = 1 + 0 = 1 f(0) = e^{C} = 1 에서 C = 0 따라서 f(x) = | ||
| 12 | 상 |
정적분 포함 등식
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정적분 int_{1}^{e} {f(t)} over {t^{2}} dt 는 상수이므로 int_{1}^{e} {f(t)} over {t^{2}} dt = k ( k 는 상수)로 놓으면 f(x) = x - k x^{2} 이 식을 정적분에 대입하면 k = int_{1}^{e} {t - k t^{2}} over {t^{2}} dt k = int_{1}^{e} left( {1} over {t} - k right) dt k = [ ln |t| - kt ]_{1}^{e} k = (ln e - ke) - (ln 1 - k) k = 1 - ke + k 따라서 ke = 1 이므로 k = {1} over {e} 함수 f(x) 는 f(x) = x - {1} over {e} x^{2} 이고 f(e) = e - {1} over {e} cdot e^{2} = e - e = 0 | ||
| 13 | 상 |
정적분과 급수의 합의 활용
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점 O 를 원점 (0, 0) , 점 A 를 (1, 0) , 점 B 를 left( {1} over {2}, {root{3}} over {2} right) 이라 하면 선분 AB 를 k : (n-k) 로 내분하는 점 P_{k} 의 좌표는 P_{k} = left( {(n-k) cdot 1 + k cdot {1} over {2}} over {n}, {k cdot {root{3}} over {2}} over {n} right) = left( 1 - {k} over {2n}, {root{3} k} over {2n} right) 이때 l_{k} = overline{OP_{k}}^{2} 이므로 l_{k} = left( 1 - {k} over {2n} right)^{2} + left( {root{3} k} over {2n} right)^{2} = 1 - {k} over {n} + {k^{2}} over {4n^{2}} + {3k^{2}} over {4n^{2}} | ||
| 14 | 상 |
부분적분법
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f'(x) = (n-x)e^{x} 이므로 f'(x) = 0 에서 x = n 이다. x < n 에서 f'(x) > 0 , x > n 에서 f'(x) < 0 이므로 f(x) 는 x = n 에서 극대이자 최대이다. g(n) = f(n) = int_{1}^{n} (n-t)e^{t} dt 부분적분법을 이용하면 g(n) = [ (n-t)e^{t} ]_{1}^{n} - int_{1}^{n} (-e^{t}) dt g(n) = -(n-1)e + [ e^{t} ]_{1}^{n} = -ne + e + e^{n} - e = e^{n} - ne 따라서 {1} over {e} sum_{n=1}^{10} left { g(n) - e^{n} right } = {1} over {e} sum_{n=1}^{10} left { (e^{n} - ne) - e^{n} right } = {1} over {e} sum_{n=1}^{10} (-ne) = sum_{n=1}^{10} (-n) | ||
| 15 | 상 |
두 곡선 사이의 넓이
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f(x) = (x-n)^{2} e^{-x} 에서 f'(x) = 2(x-n)e^{-x} - (x-n)^{2} e^{-x} = -(x-n)(x-n-2)e^{-x} 이다. f'(x) = 0 에서 x = n 또는 x = n+2 이고, 함수 f(x) 는 x=n 에서 극소값 f(n)=0 , x=n+2 에서 극대값 f(n+2) = {4} over {e^{n+2}} 를 갖는다. n 은 자연수이므로 n+2 geq 3 에서 0 < {4} over {e^{n+2}} < {4} over {e^{3}} < 1 이고, f(0) = n^{2} 이다. 함수 y=f(|x|) 의 그래프는 y 축에 대하여 대칭이므로 x geq 0 인 범위에서 y=f(x) 와 y=k ( k 는 정수)의 교점을 조사한다. k=0 일 때 f(x)=0 의 실근은 x=n 뿐이므로 f(|x|)=0 의 실근은 x= pm n 의 2개이다. 1 leq k < n^{2 | ||
| 16 | 상 |
정적분으로 정의된 함수의 극한
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함수 g(x) 가 x = {pi} over {4} 에서 연속이어야 하므로 lim_{x -> {pi} over {4}} g(x) = g({pi} over {4}) = 4 lim_{x -> {pi} over {4}} {4} over {4x - pi} int_{x - {pi} over {2}}^{x} f(t) dt = lim_{x -> {pi} over {4}} {int_{x - {pi} over {2}}^{x} f(t) dt} over {x - {pi} over {4}} = 4 x -> {pi} over {4} 일 때 (분모) -> 0 이므로 (분자) -> 0 이어야 한다. lim_{x -> {pi} over {4}} int_{x - {pi} over {2}}^{x} f(t) dt = int_{- {pi} over {4}}^{{pi} over {4}} f(t) dt = 0 int_{- {pi} over {4}}^{{pi} over {4}} left { a(sin | ||
| 17 | 상 |
삼각함수의 최대·최소
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함수 f(x) 를 미분하면 f'(x) = 3 cos x (3 sin x - 2)^{2} + (3 sin x + 2) cdot 2(3 sin x - 2) cdot 3 cos x = 3 cos x (3 sin x - 2) left { (3 sin x - 2) + 2(3 sin x + 2) right } = 3 cos x (3 sin x - 2) (9 sin x + 2) f'(x) = 0 에서 cos x = 0 또는 sin x = {2} over {3} 또는 sin x = - {2} over {9} 이다. cos x = 0 일 때 sin x = 1 또는 sin x = - 1 이므로 f'(x) = 0 을 만족하는 sin x 의 값은 1 , - 1 , {2} over {3} , - {2} over {9} 이다. 각 함숫값에 대하여 -2 pi < x < 2 pi 에서 f'(x) 의 부호가 바뀌는 점 x_{k} 를 작은 것부터 나열하 | ||
| 18 | 상 |
최대·최소의 활용
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주어진 식 f'(x^2 - 2x + 2) = 2 f(3) cos pi x + f(1)x + 4x^2 에 x = 0 을 대입하면 f'(2) = 2 f(3) cos 0 + f(1) cdot 0 + 4 cdot 0^2 = 2 f(3) 또한 x = 2 를 대입하면 f'(2) = 2 f(3) cos 2 pi + 2 f(1) + 4 cdot 2^2 = 2 f(3) + 2 f(1) + 16 두 식에서 2 f(3) = 2 f(3) + 2 f(1) + 16 이므로 f(1) = -8 f(5) 의 값을 구하기 위해 주어진 식의 양변에 2x - 2 를 곱한 후 1 부터 3 까지 적분하면 int_{1}^{3} (2x - 2) f'(x^2 - 2x + 2) dx = int_{1}^{3} (2x - 2) left { 2 f(3) cos pi x - 8x + 4x^2 right } dx 좌변은 [ f(x^2 - 2x + 2) ]_{1}^{3} = f(5) - | ||
| 19 | 상 |
최대·최소의 활용
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f(x) = (-x^{2} + ax + b) e^{-x} 로 놓으면 f'(x) = (-2x + a) e^{-x} - (-x^{2} + ax + b) e^{-x} = (x^{2} - (a+2)x + a - b) e^{-x} 조건 (가)에서 x_{1} , x_{2} 는 이차방정식 x^{2} - (a+2)x + a - b = 0 의 서로 다른 두 실근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 x_{1} + x_{2} = a + 2 = 2 , a = 0 f'(x) = (x^{2} - 2x - b) e^{-x} 이므로 f''(x) = (2x - 2) e^{-x} - (x^{2} - 2x - b) e^{-x} = (-x^{2} + 4x + b - 2) e^{-x} 조건 (나)에서 x_{3} , x_{4} 는 이차방정식 x^{2} - 4x - b + 2 = 0 의 서로 다른 두 실근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 x_{3} + x_{4} = 4 , x_{3} x_{ | ||
| 20 | 상 |
최대·최소의 활용
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g(0) = cos f(0) = 0 이고 0 leq f(0) leq 2 pi 이므로 f(0) = {pi} over {2} 또는 f(0) = {3 pi} over {2} 이다. g'(x) = -sin f(x) cdot f'(x) 이고 g(x) 가 x=0 에서 극값을 가지므로 g'(0) = 0 이다. 이차함수 f(x) 의 최고차항 계수가 양수이므로 f'(0) = 0 이다. f(x) 는 x=0 에서 최솟값 f(0) 을 가지므로 x 가 0 에 가까운 양수일 때 f(x) > f(0) 이다. f(0) = {pi} over {2} 이면 x=0 근처에서 g(x) = cos f(x) < 0 이 되어 g(0)=0 은 극댓값이 되므로 조건 (나)에 모순이다. 따라서 f(0) = {3 pi} over {2} 이고, f(x) = kx^{2} + {3 pi} over {2} ( k > 0 )이다. g'(x) = -sin left |
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2. 난이도 방식
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